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ルービックキューブ 組み合わせ数 計算方法

誰もが一度は触ったことのあるであろうルービックキューブ

fルービックキューブ パターン 組み合わせ

回せま回すほど全6色のキューブが入り乱れます。

この配色は、果たして何パターンあるのか...

って、考えたことありませんか?

悩む

ありませんね(´・ω・`)ハイ

 

そんな、数学のAくんみたいな人は普通いません。

「Aくんは近所の公園の池の面積が気になったので求めてみることにしました。」

んな事ぁ、気になんねぇよっ!(;´・ω・)

でも、今回は求めてみます。

 

今回は3×3×3の一般的なキューブでの計算をしてみます。

 

なお、僕自身文系なので、つっこんだ数学的思考はできませんのでご了承をm(__)m

 

ルービックキューブの組み合わせ数 求め方

  1. 一旦ばらしてから組み直した時の組み合わせ数を求める
  2. ある数で割って、完成状態からの回転のみで生じる組み合わせ数にする

 

「分解→組み立て」で生じる組み合わせ数

3×3×3のルービックキューブのパーツは…

  • センターキューブ×6
  • コーナーキューブ×8
  • サブキューブ×12

それぞれの配置パターンを求める。

 

センターキューブ

センターキューブ

センターキューブは、構造上固定されているので1通り

 

コーナーキューブ

コーナーキューブ

配置できる場所は8ヶ所。

向きは、面が3つあるので3パターン。

よって、8!×3⁸通り

 

サブキューブ

サブキューブ

配置できる場所は12ヶ所。

向きは、面が2つあるので2パターン。

よって、12!×2¹²通り

 

全てを掛け合わせる。

1×(8!×3⁸)×(12!×2¹²)=(8!×3⁸)(12!×2¹²)

 

「分解→組み立て」で生じる組み合わせ数は、(8!×3⁸)(12!×2¹²)通り

 

揃った状態からの回転で生じる組み合わせ数

「分解→組み立て」で生じる組み合わせ数をAとする。

  1. コーナーキューブ&サブキューブは必ず交互に配列する。
  2. すべてのサブキューブが揃っている場合、向きの違うサブキューブの数は必ず偶数である。
  3. すべてのコーナーキューブが揃っている場合、向きが時計回り、反時計回りにずれるキューブの数は、×1/3をすると必ず余りが同じになる。

1、2、3より、回転で生じる組み合わせ数は、A×1/(2×2×3)

 

A=(8!×3⁸)(12!×2¹²)

(8!×3⁸)(12!×2¹²)×1/(2×2×3)=(8!×3⁸)(12!×2¹²)/(2×2×3)

 

揃った状態からの回転で生じる組み合わせ数は、(8!×3⁸)(12!×2¹²)/(2×2×3)通り。

 

 

で、結局いくつなの?

ルービックキューブの組み合わせ数が(8!×3⁸)(12!×2¹²)/(2×2×3)通りだという事は分かりました。

 

で、コレがいくつなのか?よっぽど数学に長けてないと、コレを見て「ああ、あんくらいね!」っとは、なりませんよね(;´・ω・)

なので、分かりやすいように整数に直してみます。

 

(8!×3⁸)(12!×2¹²)/(2×2×3)

={(8×7×6×5×4×3×2×1)×(3×3×3×3×3×3×3×3)}

 ×{(12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1)

 ×(2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2)}/(2×2×3)

=(40320×6561)×(479001600×4096)/(2×2×3)

=264539520×1961990553600/12

=5190230392938782720/12

=4325203274489856000

≒4.33×10¹⁸

 

わお!(゚Д゚;)

こんなに多いんですね!

あっ、最後の段の計算はオマケです。

掌に収まるほどの大きさのルービックキューブの組み合わせ数は、こんなにあるんですね…数学好きの理系さん達は、こういうアルゴリズム的凄さに惹かれるのでしょうか?

数学の面白さも、分からなくはないですね(^^)

 

 

まとめ:ルービックキューブの組み合わせ数は?

4325京2003兆2744億8985万6000通り

 

っという結果になりました。3×3の普通のルービックでこの数ですからね…適当に崩したら、ダブることは一生ないでしょうね(;゚Д゚)

 

他のキューブは?っと言う方もいらっしゃるかと思いますので、紹介いたします。

2×2

3,674,160通り

 

3×3

43,252,003,274,489,856,000通り

 

4×4

7,401,196,841,564,901,869,874,093,974,498,574,336,000,000,000通り

 

5×5

282,870,942,277,741,856,536,180,333,107,150,328,293,127,731,985,672,134,721,536,000,000,000,000,000通り

 

6×6

468,482,950,262,988,716,857,344,210,763,7760,000,000,000,000,000,000,000,000通り

 

7×7

19,500,551,183,731,307,835,329,126,754,019,748,794,904,992,692,043,434,567,152,132,912,323,232,706,135,469,180,065,278,712,755,853,360,682,328,551,719,137,311,299,993,600,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000通り

 

以上です(笑)

 

 

所有しているキューブの一覧

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